Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. d'Alemberta (1717-1783). Było to równanie według dzisiejszej nomenklatury typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707 - 1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Póżniej, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernulli (1702 - 1782) przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750 - 1830) tworząc początki teori szeregów trygonometrycznych. A.L. Cauchy (1789 - 1857) sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy'ego. P. Laplace (1749-1827) zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace'a. S.D. Poisson (1781 -1840) rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane obecnie równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych. W początkach XIX wieku G. Green (1793-1841) stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu.
Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi.
Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann (1826-1866), H. Poincare (1854-1921), E. Picard (1856-1941), J. Hadamard (1865-1937), E. Goursat (1854-1938). Z polskich matematyków wymienić należy autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym -
M. Krzyżańskiego (1907 - 1965). Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień fizyki i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk które pierwotnie opisywały, np. równanie struny, równanie fali kulistej, równanie fali walcowej, równanie przewodnictwa cieplnego, równanie dyfuzji. Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza topologii i analizy funkcjonalnej.

Równanie różniczkowe cząstkowe, to równanie w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych niezależnych oraz niektóre jej pochodne cząstkowe. Rzędem równania nazywamy najwyższy rząd pochodnej. I tak równaniem różniczkowym cząstkowym pierwszego rzędu nazywamy zależność

gdzie \( \hskip 0.3pc (x_1, \ldots ,x_n)\in U \subset \mathbb{R}^n \hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc F:U\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} \hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją, a \( \hskip 0.3pc u:U\to\mathbb{R}\hskip 0.3pc \) funkcją szukaną.
Podobnie równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu nazywamy zależność

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest funkcją daną, a \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) funkcją szukaną.

Rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego rzędu \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) w obszarze \( \hskip 0.3pc U \subset R^n \hskip 0.3pc \)nazywamy funkcję \( \hskip 0.3pc u:U\to R^n \hskip 0.3pc \), posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \), spełniającą równanie w każdym punkcie obszaru \( \hskip 0.3pc U.\hskip 0.3pc \) Rozwiązanie takie nazywamy rozwiązaniem klasycznym. Zastosowania wymagają jednak często rozwiązań które nie mają ciągłych pochodnych, lub nie wszędzie są różniczkowalne lub wreszcie nie wszędzie są ciągłe. Wymaga to wprowadzenia tak zwanych rozwiązań słabych.
W niniejszym tekście ograniczymy się do rozważania rozwiązań klasycznych, chociaż z punktu widzenia zatosowań są one daleko niewystarczające. Postaramy się natomiast sygnalizawać sytuacje w których widać potrzebę rozważania szerszej klasy rozwiązań oraz sformułujemy wstępne definicje, zachęcając w ten sposób Czytelnika do sięgnięcia po opracowania bardziej zaawansowane.

W dalszym ciągu będziemy rozważać pewne szczególne przypadki równań różniczkowych cząstkowych.
Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci ( 1 ), jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest liniowa względem funkcji \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) oraz jej pochodnych \( \hskip 0.3pc u_{x_1}, \ldots ,u_{x_n}, \hskip 0.3pc \) czyli równanie postaci

Jeśli \( \hskip 0.3pc f=0 \hskip 0.3pc \)to równanie ( 3 ) nazywamy jednorodnym.
Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi-liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci ( 1 ) jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \)jest liniowa względem pochodnych \( \hskip 0.3pc u_{x_1}, \ldots ,u_{x_n}, \hskip 0.3pc \)czyli równanie postaci

Jeśli \( \hskip 0.3pc f=0 \hskip 0.3pc \) to równanie ( 4 ) nazywamy równaniem quasi liniowym jednorodnym.
Zazwyczaj przyjmujemy, że zadane funkcje \( \hskip 0.3pc a_1, \ldots , a_n \hskip 0.3pc \) oraz funkcja \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) są ciągłe w rozważanych obszarach.
Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym drugiego rzędu nazywamy równanie postaci ( 2 ) jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \)jest liniowa względem funkji \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) oraz jej pochodnych, tzn. równanie postaci

gdzie \( \hskip 0.3pc a_{ij}, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc b_i \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc i,j=1, \ldots ,n \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \)są zadanymi funkcjami zmiennych \( \hskip 0.3pc x_1, \ldots ,x_n. \hskip 0.3pc \)
Jeśli \( \hskip 0.3pc f=0 \hskip 0.3pc \) to równanie ( 5 ) nazywamy jednorodnym.
Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi-liniowym drugiego rzędu nazywamy równanie postaci ( 2 ) jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \)jest liniowa względem pochodnych drugiego rzędu funkcji \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)czyli równanie postaci

Załóżmy, że równanie różniczkowe rozważamy w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega . \hskip 0.3pc \) Jeśli szukamy rozwiązania które na brzegu \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) przyjmuje zadane wartości, to problem ten nazywamy problemem brzegowym. Możemy też szukać rozwiązania dla którego na brzegu obszaru mamy zadane wartości pochodnych lub wartości pochodnej w kierunku normalnym do powierzchni, lub też kombinację tych warunków. Ze względu na interpretację fizyczną, często wyróżniamy jedną ze zmiennych i nazywamy czasem. Nie jest to na ogół obojętne, jeśli bowiem równanie różniczkowe opisuje pewne zjawisko fizyczne, to każda ze zmiennych ma z góry ustaloną interpretację.
Jeśli poszukujemy rozwiązania które w chwili początkowej \( \hskip 0.3pc t=t_0 \hskip 0.3pc \) przyjmuje zadane wartości, to rozważany problem nazywamy problemem początkowym albo problemem Cauchy'ego. Możemy też szukać rozwiązania dla którego w chwili początkowej \( \hskip 0.3pc t=t_0 \hskip 0.3pc \) mamy zadane wartości pochodnych, lub rozwiązania które w chwili początkowej \( \hskip 0.3pc t=t_0 \hskip 0.3pc \) spełnia kombinację tych warunków.
Należy wyrażnie zaznaczyć, że nie istnieje ogólna metoda rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Co więcej, stosowane techniki nie tylko zależą od typu równania, ale często również od rozpatrywanych warunków początkowych
i brzegowych oraz obszaru w którym szukamy rozwiązania. Dlatego też badania skupiają się na konkretnych równaniach różniczkowych cząstkowych jak też konkretnych problemach początkowych i brzegowych, które sa ważne z punktu widzenia zastosowań w matematyce czy też w innych naukach.
Na koniec zauważmy, że ze względu na oszczędność zapisu sensownym jest wprowadzenie operatorów różniczkowych

oraz

Jeśli operator \( \hskip 0.3pc L \hskip 0.3pc \) jest określony wzorem (8) (odp. (7)), równanie ( 5 ) (odp.( 6 ) ) możemy zapisać krótko

Szczególnie rozpowszechniony jest operator Laplace'a (tzw. laplasjan)

oraz operator Nabla

Zauważmy, że \( \hskip 0.3pc \Delta = \bigtriangledown\cdot \bigtriangledown = \bigtriangledown ^2, \hskip 0.3pc \) przy czym iloczyn rozumiemy tu w sensie iloczynu skalarnego.